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Esempio 1 (riflessione rispetto all'asse delle ordinate).

Consideriamo in la riflessione rispetto all'asse delle ordinate, e chiamiamo questa applicazione .
Il "funzionamento" dell'applicazione viene illustrata nella figura 1.1..
Considerando la base canonica, allora possiamo con un po' di intuizione geometrica si può calcolare la matrice associata a (Definizione 1 (matrice associata a f rispetto alle basi B, C)).

FIGURA 1.1. (Idea grafica)
Pasted image 20231202195820.png

Problema della riflessione rispetto alla retta

Esempio 2 (riflessione rispetto alla retta

Ora consideriamo una retta che passa per l'origine ; chiamiamo la riflessione rispetto alla retta . In figura 1.2. si illustra la "trasformazione" di un qualsiasi vettore mediante .
Dal disegno non è chiaro "calcolare" la matrice
Bisognerebbe considerare eventuali angoli, seni, coseni e altre complicazioni.
Questa difficolta proviene dal fatto che abbiamo scelto delle "basi difficili" su cui calcolare questa matrice: se scegliessimo una "base adeguata" all'applicazione lineare , tutto divneterebbe più semplice!
Consideriamo allora una "base personalizzata" per , ovvero una è un vettore che "giace sulla retta " è l'altra è un vettore ortogonale alla retta : chiamiamo l'insieme di questi vettori come . Questa idea viene raffigurata nella figura 1.3..
Allora in questo caso diventa semplicissimo calcolare la matrice associata a per la base : infatti il "calcolo" diventa analogo a quello presentato nell'esempio 1.1. (^e251c3 Esempio 1 (riflessione rispetto all'asse delle ordinate)).

FIGURA 1.2. (Idea grafica parte 1)
Pasted image 20231202200724.png

FIGURA 1.3. (Idea grafica parte 2)
Pasted image 20231202200858.png

2. Conclusione

Osservazione 3 (conclusione delle considerazioni).

Alla fine notiamo che in entrambi gli esempi, gli elementi della base vengono mandati in multipli di sé stessi: infatti, nel primo esempio abbiamo
Allora si può dire che quando abbiamo un comportamento del genere, la nostra scelta delle basi "ha funzionato" in quanto ci semplifica il calcolo delle matrici associate.
Vedremo che questa diventerà l'idea chiave della diagonalizzazione: la procedura per determinare "basi efficienti" per certe applicazioni lineari sarà proprio il problema della diagonalizzazione.

B. NOMENCLATURA PRELIMINARE

B1. Autovalore, autovettore, autospazio

Definizione di Autovalore, Autovettore, Autospazio

data: 2023-12-02
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Definizione di Autovalore, Autovettore, Autospazio
tipologia: appunti
stato: "1"

Definizione di autovalore, spettro di un'applicazione lineare; definizione di autovetture; definizione di autospazio.

1. Autovalore di un'applicazione

Definizione 1 (autovalore di un'applicazione lineare).

Sia un'applicazione lineare (Definizione 1 (applicazione lineare da V a V primo)), con .
Uno scalare si dice autovalore (in inglese "Eigenvalue" o in tedesco "der Eigenwert") per l'applicazione se si verifica il seguente
A parole, "un scalare è autovalore di se esiste un vettore di (escluso il vettore nullo in quanto creerebbe dei problemi) tale che l'immagine di tale vettore è uguale al vettore scalato per il scalare scelto".

Osservazione 2 (l'esempio della riflessione rispetto alla retta

Riprendiamo l'esempio 1.2. relativo alle considerazioni preliminari (Esempio 2 (riflessione rispetto alla retta )): notiamo che sono autovalori di .
Infatti,

Spettro di un'applicazione lineare

Definizione 3 (spettro di un'applicazione lineare).

Data , definiamo l'insieme dei autovalori di come lo spettro di e lo indichiamo con

2. Autovettore di un'applicazione relativo ad un'autovalore

Definizione 4 (autovettore di un'applicazione lineare relativo ad un'autovalore).

Sia un'applicazione lineare; sia un autovalore di .
Diciamo che il vettore è autovettore (in inglese "Eigenvector" o in tedesco "der Eigenvektor") se vale che

3. Autospazio di un'autovalore

Definizione 5 (autospazio di un autovalore).

Sia un autovalore per .
Definiamo l'autospazio (in inglese "Eigenspace" o in tedesco "der Eigenraum") di come l'insieme di autovettori di e lo denotiamo con

Osservazione 6 (l'elemento nullo è elemento di qualsiasi autospazio).

Affinché lo scalare sia autovalore, per definizione, deve valore che
Allora se è autovalore, consideriamo l'autovettore relativa a :
In particolare se , varrebbe che
Dunque vale che il vettore nullo appartiene sempre all'autospazio di un qualunque autovalore.

B2. Proposizioni su autospazi

Proposizioni su Autospazi

data: 2023-12-02
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Proposizioni su Autospazi
tipologia: appunti
stato: "1"

Proposizioni (teoremini) autospazi. L'autospazio di un autovalore è spazio vettoriale; vettori appartenenti ad autospazi diversi sono linearmente indipendenti.

1. Autospazio di un qualsiasi autovalore è sottospazio vettoriale

Sia un'applicazione lineare (Definizione 1 (applicazione lineare da V a V primo)) con .
Sia un autovalore di (Definizione 1 (autovalore di un'applicazione lineare)).
Allora è sottospazio vettoriale di V (Sottospazi Vettoriali > ^9bcbf2 Definizione 1 (sottospazio vettoriale)).

Proposizione 1 (l'autospazio di un qualsiasi autovalore è sottospazio vettoriale del dominio/codominio).

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE della proposizione 1.1.
Verifichiamo le tre proprietà caratterizzanti di sottospazi vettoriali.

: per l'osservazione 3.1. relativa agli autospazi (Osservazione 6 (l'elemento nullo è elemento di qualsiasi autospazio)), il vettore nullo è elemento di qualsiasi autospazio.
Sia , ; . Allora per ipotesi . Considero ;
Siano . Siano . Allora, per ipotesi sono vere che
Ma allora
Il che implica

2. Due vettori appartenenti a due autospazi distinti sono linearmente indipendenti

Proposizione 2 (due elementi di autospazi distinti sono linearmente indipendenti).

Sia un'applicazione lineare con .
Siano autovalori distinti di .
Siano e .
Supponendo che , allora e sono vettori linearmente indipendenti (Definizione 4 (vettori linearmente indipendenti)).

C. DIAGONALIZZABILITA' DI UN'APPLICAZIONE LINEARE

C1. Definizione di applicazione lineare diagonalizzabile

Definizione di Matrice Diagonale e Applicazione Diagonalizzabile

data: 2023-12-02
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Definizione di Matrice Diagonale e Applicazione Diagonalizzabile
tipologia: appunti
stato: "1"

Definizione di una matrice quadrata diagonale e di un'applicazione lineare diagonalizzabile.

1. Matrice quadrata diagonale

Definizione 1 (matrice quadrata diagonale).

Sia una matrice quadrata (Matrice > ^a95650 Definizione 6 (matrice quadrata di ordine )).
si dice anche diagonale se tutti gli elementi non-nulli appartengono solo alla diagonale principale della matrice (Matrice Matrice).

2. Applicazione Lineare Diagonalizzabile

Sia un'applicazione lineare (Definizione 1 (applicazione lineare da V a V primo)) con .
si dice diagonalizzabile se esiste una base di tale che la matrice associata (Definizione 1 (matrice associata a f rispetto alle basi B, C)) è diagonale.

Definizione 2 (applicazione lineare diagonalizzabile).

Osservazione 3 (significato della diagonalizzabilità).

Dire che la matrice associata è diagonale è equivalente a dire che ogni immagine dell'elemento della base è autovettore per un certo autovalore .
Infatti se è diagonale, allora è una matrice del tipo
Allora, per definizione, ogni immagine del vettore di è del tipo
Ovvero è elemento dello spettro di .

C2. Caratterizzazione delle applicazioni lineari diagonalizzabili

Proposizioni sulle Applicazioni Lineari Diagonalizzabili

data: 2023-12-03
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Proposizioni sulle Applicazioni Lineari Diagonalizzabili
tipologia: appunti
stato: "1"

Proposizioni di caratterizzazione sulle applicazioni lineari diagonalizzabili.

1. Osservazione sulle matrici

Osservazione 1 (condizione necessaria e sufficiente per la diagonalizzabilità di un'applicazione lineare).

Ricordiamo che se è un'applicazione lineare di dimensione finita (Definizione 1 (applicazione lineare da V a V primo)), e sono le matrici associate di alle basi di , ovvero
Supponiamo inoltre che sia diagonale.
Allora dato che sono simili sicuramente vale che
dove è una matrice quadrata invertibile.

Pertanto si può dire che un'applicazione lineare è diagonalizzabile se e solo se presa una sua matrice associata , questa è simile ad una matrice diagonale; ovvero esiste una matrice tale che la matrice risultante del calcolo sia diagonale.

2. Proposizione di caratterizzazione delle applicazioni diagonalizzabili

Proposizione 2 (proprietà fondamentale della diagonalizzabilità).

Sia un'applicazione lineare di dimensione finita.
Allora è diagonalizzabile se e solo se esiste una base di costituita tutta da autovettori.

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE della proposizione 2.1. (^b86a9d Proposizione 2 (proprietà fondamentale della diagonalizzabilità))
"": Basta considerare la definizione di applicazione lineare diagonalizzabile (Definizione 2 (applicazione lineare diagonalizzabile)).
": Sia una base costituita da autovettori (Definizione 4 (autovettore di un'applicazione lineare relativo ad un'autovalore)), allora ad ogni è associato un autovalore (Definizione 1 (autovalore di un'applicazione lineare)) tale che valga l'uguaglianza .
Ma allora ciò vuol dire che la sua matrice associata (Definizione 1 (matrice associata a f rispetto alle basi B, C)) è
Allora chiaramente questa matrice è diagonale, il che significa è diagonalizzabile.

Gli autovalori possono essere uguali (osservazione fondamentale)

Osservazione 3 (Osservazione 2.1.).

Però notiamo che non abbiamo supposto che tutti gli autovalori sono tutti distinti: infatti, alcuni autovettori possono avere lo stesso autovalore!
Per comprendere che una tale base possa esistere, andiamo a ripensare gli autospazi (Definizione 5 (autospazio di un autovalore)) in una nuova maniera.
In particolare, ridimostriamo che gli autospazi sono sottospazi vettoriali in una maniera alternativa.
Sia un'applicazione lineare di dimensione finita; sia un autovalore.
Allora per definizione deve esistere un autovettore per l'autovalore ; ovvero
Consideriamo dunque la "nuova applicazione"
Notiamo innanzitutto che .
Pertanto ; allora non è iniettiva.
Allora non è neanche invertibile;
dunque per qualsiasi base di vale che
$𝟙$ Pertanto gli autovalori di sono tutti e soli gli autovalori tali per cui si ha
$𝟙$ Per una qualsiasi base di .
Il nostro problema principale sarà quello di trovare quei valori che soddisfano tale uguaglianza; ovvero dobbiamo trovare gli autovalori : lo risolveremo mediante la definizione del polinomio caratteristico (Definizione 1 (polinomio caratteristico di un'applicazione lineare)).

Infine, osserviamo che l'autospazio di è sottospazio vettoriale di (come volevasi dimostrare all'inizio).
Infatti, essendo uno sottospazio vettoriale di , allora è anch'esso uno sottospazio vettoriale.

C3. Polinomio caratteristico di un'applicazione lineare

Polinomio Caratteristico di una Applicazione Lineare

data: 2023-12-03
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Polinomio Caratteristico di una Applicazione Lineare
tipologia: appunti
stato: "1"

Definizione di polinomio caratteristico di una applicazione lineare; esempi.

1. Definizione del polinomio caratteristico di

Definizione 1 (polinomio caratteristico di un'applicazione lineare).

Sia un'applicazione lineare con (Definizione 1 (applicazione lineare da V a V primo)).
Consideriamo ora l'autovalore come un parametro/incognita/variabile; formiamo quindi il determinante
dove è una qualsiasi base di .
Per la definizione del determinante (Determinante > ^be5bde Definizione 4 (determinante per lo sviluppo lungo la prima colonna); si possono usare altre definizioni alternative), il determinante della matrice forma un polinomio in a coefficienti in e questo polinomio è detto il polinomio caratteristico di , ed e denotato come

Osservazione 2 (utilità del polinomio caratteristico).

Tenendo in conto le considerazioni fatte sulle applicazioni lineari diagonalizzabili, in particolare sui suoi autovalori (Osservazione 3 (Osservazione 2.1.)), questa definizione del polinomio caratteristico serve per trovare gli autovalori di : basta porre infatti
e risolvere tale equazione.

2. Esempio

Esempio 3 (esempio).

Considerare , ove
Con la sua base canonica
Allora la sua matrice associata è
Pertanto il polinomio caratteristico è
$𝟙$ Allora ponendo si ha che gli autovalori di sono
Di conseguenza
Notiamo che possono formare una base di in quanto sono linearmente indipendenti.
Allora calcoliamo determinando
e
che sono rispettivamente gli autospazi di .

C4. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore

Molteplicità Geometrica e Algebrica di uno Autovalore

data: 2023-12-03
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Molteplicità Geometrica e Algebrica di uno Autovalore
tipologia: appunti
stato: "1"

Definizione di molteplicità geometrica e algebrica di un autovalore. Esempi. Proposizioni e osservazioni.

1. Definizione di molteplicità geometrica

Definizione 1 (molteplicità geometrica di un autovalore).

Sia un'applicazione lineare con finita (Definizione 1 (applicazione lineare da V a V primo)). Sia un autovalore per (Definizione 1 (autovalore di un'applicazione lineare));
allora si definisce il numero
come la molteplicità geometrica dell'autovalore .
A parole questo vuol dire "il numero di autovettori associati a ".
Inoltre lo denotiamo con

2. Definizione di molteplicità algebrica

Definizione 2 (molteplicità algebrica di un autovalore).

Sia un'applicazione lineare con finita.
Sia il polinomio caratteristico (Osservazione 2 (utilità del polinomio caratteristico)).
Allora, supponendo che sia autovalore per (ovvero ), per il teorema di Ruffini (Regola di Ruffini > ^af4d5f Teorema 1 (di Ruffini)) vale che
Definiamo la molteplicità algebrica di come il numero naturale per cui si ha
ove non divide .
Ovvero a parole la molteplicità algebrica di è "l'esponente più alto associato al valore del polinomio caratteristico linearizzato".
Inoltre denotiamo questo con

Esempio 3 (esempio).

Sia
Allora sono autovalori per e la molteplicità algebrica per questi sono rispettivamente .

3. Relazione tra la molteplicità algebrica e geometrica

Proposizione 4 (relazione tra molteplicità algebrica e geometrica).

Sia un'applicazione lineare con finita e con autovalore per .
Allora vale che

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE della proposizione 3.1. (^f9542a Proposizione 4 (relazione tra molteplicità algebrica e geometrica))
Omessa.

4. Osservazione finale

Osservazione 5 (osservazione sulla molteplicità algebrica).

Se è un'applicazione lineare con dimensione finita e chiamo tale dimensione , allora è un polinomio di grado esattamente .
Pertanto la somma delle molteplicità algebrica di tutti gli autovalori è al più .

D. TEOREMA DEL CRITERIO DI DIAGONALIZZAZIONE

Teorema del Criterio di Diagonalizzazione

data: 2023-12-03
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Teorema del Criterio di Diagonalizzazione
tipologia: appunti
stato: "1"

Teorema del Criterio di Diagonalizzazione: osservazione preliminare, enunciato ed esempio.

0. Osservazione preliminare