data: 2024-02-05
corso: [[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]
argomento: Diagonalizzazione - Sommario
tipologia: sommario
stato: "1"
capitolo:Diagonalizzazione - Sommario
Tutto sulla diagonalizzazione di applicazioni lineari.
data: 2023-12-02
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Considerazioni Preliminari sulla Diagonalizzazione
tipologia: appunti
stato: "1"Introduzione alla Diagonalizzazione: problema della riflessione all'asse delle ordinate in R2, osservazioni.
Consideriamo in
Il "funzionamento" dell'applicazione
Considerando
FIGURA 1.1. (Idea grafica)
Ora consideriamo una retta
Dal disegno non è chiaro "calcolare" la matrice
Questa difficolta proviene dal fatto che abbiamo scelto delle "basi difficili" su cui calcolare questa matrice: se scegliessimo una "base adeguata" all'applicazione lineare
Consideriamo allora una "base personalizzata" per
Allora in questo caso diventa semplicissimo calcolare la matrice associata a
FIGURA 1.2. (Idea grafica parte 1)
FIGURA 1.3. (Idea grafica parte 2)
Alla fine notiamo che in entrambi gli esempi, gli elementi della base vengono mandati in multipli di sé stessi: infatti, nel primo esempio abbiamo
Vedremo che questa diventerà l'idea chiave della diagonalizzazione: la procedura per determinare "basi efficienti" per certe applicazioni lineari sarà proprio il problema della diagonalizzazione.
data: 2023-12-02
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Definizione di Autovalore, Autovettore, Autospazio
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di autovalore, spettro di un'applicazione lineare; definizione di autovetture; definizione di autospazio.
Sia
Uno scalare
Riprendiamo l'esempio 1.2. relativo alle considerazioni preliminari (Considerazioni Preliminari sulla Diagonalizzazione > ^0ce141Esempio 2 (riflessione rispetto alla retta
Infatti,
Data
Sia
Diciamo che il vettore
Sia
Definiamo l'autospazio (in inglese "Eigenspace" o in tedesco "der Eigenraum") di
Affinché lo scalare
data: 2023-12-02
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Proposizioni su Autospazi
tipologia: appunti
stato: "1"Proposizioni (teoremini) autospazi. L'autospazio di un autovalore è spazio vettoriale; vettori appartenenti ad autospazi diversi sono linearmente indipendenti.
Sia
Sia
Allora
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE della proposizione 1.1.
Verifichiamo le tre proprietà caratterizzanti di sottospazi vettoriali.
Sia
Siano
Siano
Supponendo che
data: 2023-12-02
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Definizione di Matrice Diagonale e Applicazione Diagonalizzabile
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di una matrice quadrata diagonale e di un'applicazione lineare diagonalizzabile.
Sia
Sia
Dire che la matrice associata
Infatti se
data: 2023-12-03
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Proposizioni sulle Applicazioni Lineari Diagonalizzabili
tipologia: appunti
stato: "1"Proposizioni di caratterizzazione sulle applicazioni lineari diagonalizzabili.
Ricordiamo che se
Allora dato che
Pertanto si può dire che un'applicazione lineare
Sia
Allora
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE della proposizione 2.1. (^b86a9dProposizione 2 (proprietà fondamentale della diagonalizzabilità))
"
"
Ma allora ciò vuol dire che la sua matrice associata (Definizione della Matrice associata a un'Applicazione Lineare > ^ea78d6Definizione 1 (matrice associata a f rispetto alle basi B, C)) è
Però notiamo che non abbiamo supposto che tutti gli autovalori
Per comprendere che una tale base possa esistere, andiamo a ripensare gli autospazi (Definizione di Autovalore, Autovettore, Autospazio > ^1486dcDefinizione 5 (autospazio di un autovalore)) in una nuova maniera.
In particolare, ridimostriamo che gli autospazi sono sottospazi vettoriali in una maniera alternativa.
Sia
Allora per definizione deve esistere un autovettore per l'autovalore
Pertanto
Allora
dunque per qualsiasi base
Il nostro problema principale sarà quello di trovare quei valori
Infine, osserviamo che l'autospazio di
data: 2023-12-03
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Polinomio Caratteristico di una Applicazione Lineare
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di polinomio caratteristico di una applicazione lineare; esempi.
Sia
Consideriamo ora l'autovalore
Per la definizione del determinante (Determinante > ^be5bdeDefinizione 4 (determinante per lo sviluppo lungo la prima colonna); si possono usare altre definizioni alternative), il determinante della matrice
Tenendo in conto le considerazioni fatte sulle applicazioni lineari diagonalizzabili, in particolare sui suoi autovalori (Proposizioni sulle Applicazioni Lineari Diagonalizzabili > ^b8112cOsservazione 3 (Osservazione 2.1.)), questa definizione del polinomio caratteristico
Considerare
Allora calcoliamo
data: 2023-12-03
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Molteplicità Geometrica e Algebrica di uno Autovalore
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di molteplicità geometrica e algebrica di un autovalore. Esempi. Proposizioni e osservazioni.
Sia
allora si definisce il numero
A parole questo vuol dire "il numero di autovettori associati a
Inoltre lo denotiamo con
Sia
Sia
Allora, supponendo che
Ovvero a parole la molteplicità algebrica di
Inoltre denotiamo questo con
Sia
Allora
Sia
Allora vale che
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE della proposizione 3.1. (^f9542aProposizione 4 (relazione tra molteplicità algebrica e geometrica))
Omessa.
Se
Pertanto la somma delle molteplicità algebrica di tutti gli autovalori è al più
data: 2023-12-03
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Teorema del Criterio di Diagonalizzazione
tipologia: appunti
stato: "1"Teorema del Criterio di Diagonalizzazione: osservazione preliminare, enunciato ed esempio.
Supponiamo che
Allora
Per definizione, si verifica che
Quindi si evince che
Pertanto, gli autovettori
Pertanto ho una base di autovettori per
Inoltre notiamo che la molteplicità geometrica (Molteplicità Geometrica e Algebrica di uno Autovalore > ^0fc15cDefinizione 1 (molteplicità geometrica di un autovalore)) di ogni autovalore
Ciò implica che
Sia
Allora
Alternativamente si può "parafrasare" le due condizioni come il seguente: